عددهای صحیح و محور اعداد
عددهای صحیح شامل عددهای مثبت، صفر و عددهای منفی هستند. برای نمایش آنها
از «محور اعداد» استفاده میکنیم؛ یک خط افقی که روی آن، صفر وسط قرار دارد،
سمت راست عددهای مثبت و سمت چپ عددهای منفی.
مقایسه عددهای صحیح
- هرچه روی محور اعداد به سمت راست برویم، عددها بزرگتر میشوند.
- بین دو عدد منفی، عددی که به صفر نزدیکتر است بزرگتر است.
- مثلاً: −۲ از −۵ بزرگتر است، چون به صفر نزدیکتر است.
جمع و تفریق عددهای صحیح
برای جمع و تفریق میتوانیم از محور اعداد کمک بگیریم. مثلاً برای
۳ − ۵ از عدد ۳، پنج واحد به سمت چپ میرویم و به −۲ میرسیم.
✨ نکته طلایی: یادت نره!
اگر علامت دو عدد مثل هم باشد، قدرمطلقها را جمع و علامت را حفظ میکنیم؛
اگر متفاوت باشد، قدرمطلق بزرگتر را از کوچکتر کم و علامت عدد بزرگتر را میگذاریم.
جبر، عبارت جبری و معادله
در جبر به جای عددهای نامعلوم از حروفی مثل x و y استفاده میکنیم.
مثلاً عبارت ۳x + ۲ یعنی «سه برابر یک عدد بهعلاوه دو».
سادهسازی عبارت جبری
- عبارتهای همجنس را میتوان با هم جمع یا تفریق کرد.
- مثلاً: ۲x + ۵x = ۷x چون هر دو از نوع x هستند.
- اما ۲x + ۳y را نمیتوان با هم جمع کرد، چون متغیرهایشان متفاوت است.
معادله چیست؟
معادله یعنی یک تساوی که در آن یک یا چند مقدار نامعلوم داریم و میخواهیم
مقدار آنها را پیدا کنیم. مثلاً:
۲x + ۳ = ۷
برای حل این معادله، اول ۳ را به طرف دیگر میبریم:
۲x = ۴، پس x = ۲.
✨ نکته طلایی: تعادل ترازو
به معادله مثل یک ترازو نگاه کن؛ هر کاری در یک طرف انجام میدهی،
باید در طرف دیگر هم انجام دهی تا تعادل حفظ شود.
هندسه: زاویهها و چندضلعیها
زاویهها از برخورد دو نیمخط به وجود میآیند. اندازه زاویه را با درجه
نشان میدهیم. چند نوع زاویه مهم داریم:
- زاویه حاده: کوچکتر از ۹۰ درجه
- زاویه قائمه: دقیقاً ۹۰ درجه
- زاویه منفرجه: بین ۹۰ و ۱۸۰ درجه
- زاویه باز: ۱۸۰ درجه
مجموع زوایای چندضلعیها
مجموع زوایای داخلی یک n-ضلعی برابر است با:
(n − ۲) × ۱۸۰ درجه.
مثلاً برای مثلث (n=3) داریم: (۳ − ۲) × ۱۸۰ = ۱۸۰ درجه.
✨ نکته طلایی: فرمول را حفظ نکن، بفهم!
یک n-ضلعی را به مثلثهای کوچک تقسیم کن؛ همیشه تعداد مثلثها n−۲
است،
برای همین فرمول (n−۲)×۱۸۰ به دست میآید.
توان و رادیکال
توان یعنی تکرار ضرب یک عدد در خودش. مثلاً:
۲³ یعنی ۲ × ۲ × ۲ که برابر ۸ میشود.
قوانین ساده توانها
- ضرب توانها با پایه مساوی:
aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ
- تقسیم توانها با پایه مساوی:
aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ (به شرطی که a ≠ ۰)
آشنایی اولیه با رادیکال
رادیکال برعکس توان است. مثلاً:
√۹ یعنی عددی که اگر در خودش ضرب شود، ۹ شود؛ پس جواب ۳ است.
✨ نکته طلایی: توان و رادیکال دوست هماند
به یاد داشته باش: √a همان a^(۱/۲) است؛ این ارتباط در پایههای بالاتر خیلی به کارت میآید.